ELEMENTY KONSTRUKCYJNE BELKIA ŁÓŻKA PIĘTROWEGO
Aby obliczyć nośność belki drewnianej, trzeba uwzględnić kilka kluczowych parametrów, takich jak wymiary belki, wytrzymałość materiału, typ obciążenia oraz rodzaj podparcia. W tym przypadku mamy belkę dębową o następujących wymiarach:
Długość: L=2000 mm=2 mL = 2000 \, \text{mm} = 2 \, \text{m}L=2000mm=2m
Szerokość: b=35 mmb = 35 \, \text{mm}b=35mm
Wysokość: h=35 mmh = 35 \, \text{mm}h=35mm
Zakładając, że belka jest podparta na obu końcach, a obciążenie jest równomiernie rozłożone, możemy wyznaczyć maksymalne dopuszczalne obciążenie na podstawie wytrzymałości drewna na zginanie oraz maksymalnego dopuszczalnego momentu zginającego.
Belka dębowa ma określoną wytrzymałość na zginanie, która wynosi średnio około σdop=80 MPa\sigma_\text{dop} = 80 \, \text{MPa}σdop=80MPa. Poniżej znajdziemy moment bezwładności oraz maksymalne obciążenie:
1. Moment bezwładności przekroju prostokątnego
Moment bezwładności przekroju prostokątnego belki względem osi poziomej (wzór na moment bezwładności):
I=b⋅h312I = \frac{b \cdot h^3}{12}I=12b⋅h3
Podstawiając dane:
I=35 mm⋅(35 mm)312=35⋅4287512=125208.33 mm4I = \frac{35 \, \text{mm} \cdot (35 \, \text{mm})^3}{12} = \frac{35 \cdot 42875}{12} = 125208.33 \, \text{mm}^4I=1235mm⋅(35mm)3=1235⋅42875=125208.33mm4
2. Maksymalny moment zginający
Dla belki podpartej na obu końcach z równomiernie rozłożonym obciążeniem, maksymalny moment zginający w środku belki wynosi:
Mmax=wL28M_\text{max} = \frac{w L^2}{8}Mmax=8wL2
gdzie:
www – równomierne obciążenie (w N/mm),
LLL – długość belki (w mm).
3. Wyznaczenie maksymalnego dopuszczalnego momentu zginającego
Wytrzymałość materiału na zginanie można określić za pomocą wzoru:
σdop=MmaxW\sigma_\text{dop} = \frac{M_\text{max}}{W}σdop=WMmax
gdzie:
WWW – wskaźnik wytrzymałości przekroju, wyrażony jako:
W=bh26W = \frac{b h^2}{6}W=6bh2
Podstawiając dane:
W=35⋅3526=35⋅12256=7145.83 mm3W = \frac{35 \cdot 35^2}{6} = \frac{35 \cdot 1225}{6} = 7145.83 \, \text{mm}^3W=635⋅352=635⋅1225=7145.83mm3
4. Obliczenie maksymalnego momentu
Podstawiając do wzoru na dopuszczalne naprężenie zginające:
Mmax=σdop⋅W=80 MPa×7145.83 mm3M_\text{max} = \sigma_\text{dop} \cdot W = 80 \, \text{MPa} \times 7145.83 \, \text{mm}^3Mmax=σdop⋅W=80MPa×7145.83mm3 Mmax=80×106 Pa×7145.83×10−3 m3=571666.4 Nmm=571.67 NmM_\text{max} = 80 \times 10^6 \, \text{Pa} \times 7145.83 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 = 571666.4 \, \text{Nmm} = 571.67 \, \text{Nm}Mmax=80×106Pa×7145.83×10−3m3=571666.4Nmm=571.67Nm
5. Wyznaczenie maksymalnego obciążenia równomiernie rozłożonego
Dla belki podpartej na obu końcach z równomiernie rozłożonym obciążeniem:
Mmax=wL28M_\text{max} = \frac{w L^2}{8}Mmax=8wL2
Podstawiając obliczoną wartość MmaxM_\text{max}Mmax:
571.67=w⋅200028571.67 = \frac{w \cdot 2000^2}{8}571.67=8w⋅20002w=571.67×820002w = \frac{571.67 \times 8}{2000^2}w=20002571.67×8w=4573.364000000=1.143 N/mmw = \frac{4573.36}{4000000} = 1.143 \, \text{N/mm}w=40000004573.36=1.143N/mm
6. Maksymalne obciążenie całkowite
Maksymalne obciążenie całkowite WtotalW_\text{total}Wtotal to:
Wtotal=w⋅L=1.143 N/mm×2000 mm=2286.7 NW_\text{total} = w \cdot L = 1.143 \, \text{N/mm} \times 2000 \, \text{mm} = 2286.7 \, \text{N}Wtotal=w⋅L=1.143N/mm×2000mm=2286.7N
Odpowiedź
Maksymalna nośność belki dębowej o wymiarach 2000 mm x 35 mm x 35 mm, podpartej na obu końcach i obciążonej równomiernie, wynosi około 2287 N (około 2.29 kN)
ChatGPTkg/cm2
WtotalW_{total}Wtotal równą 2286.7 N2286.7 \, \text{N}2286.7N. Zakładając, że to obciążenie działa na powierzchnię przekroju poprzecznego belki, wyznaczymy tę wartość w kg/cm2\text{kg/cm}^2kg/cm2.
1. Powierzchnia przekroju poprzecznego
Powierzchnia przekroju belki jest prostokątna i wynosi:
A=b×h=35 mm×35 mm=1225 mm2A = b \times h = 35 \, \text{mm} \times 35 \, \text{mm} = 1225 \, \text{mm}^2A=b×h=35mm×35mm=1225mm2
Przeliczamy to na cm2\text{cm}^2cm2:
A=1225 mm2=12.25 cm2A = 1225 \, \text{mm}^2 = 12.25 \, \text{cm}^2A=1225mm2=12.25cm2
2. Przeliczenie siły z niutonów na kilogramy
Siłę w niutonach (NNN) przeliczamy na kilogramy (kgkgkg) za pomocą współczynnika przyspieszenia ziemskiego (g≈9.81 m/s2g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2g≈9.81m/s2):
Fkg=FNg=2286.7 N9.81 m/s2≈233 kgF_{\text{kg}} = \frac{F_{\text{N}}}{g} = \frac{2286.7 \, \text{N}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 233 \, \text{kg}Fkg=gFN=9.81m/s22286.7N≈233kg
3. Obliczenie ciśnienia w kg/cm2\text{kg/cm}^2kg/cm2
Teraz obliczamy ciśnienie (nośność na jednostkę powierzchni) w jednostkach kg/cm2\text{kg/cm}^2kg/cm2:
p=FkgA=233 kg12.25 cm2≈19.02 kg/cm2p = \frac{F_{\text{kg}}}{A} = \frac{233 \, \text{kg}}{12.25 \, \text{cm}^2} \approx 19.02 \, \text{kg/cm}^2p=AFkg=12.25cm2233kg≈19.02kg/cm2
Odpowiedź
Nośność belki dębowej w przeliczeniu na jednostkę powierzchni wynosi około 19.02 kg/cm².
https://dedekids.pl/pl/c/Lozka-pietrowe/88
